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Mission impossible?

Mischen verständlich erklärt.

Abb 0. Ein Mischermodul aus Fernost

Wir haben alle schon mit Mischern zu tun gehabt. Vielleicht beim Heimwerken mit Schüppe, die sind hier nicht gemeint. Hier geht es um die in unseren RXs und TXs. Wenigstens in der Prüfung mussten wir uns damit auskennen. Wenn man zwei Wechselspannungen verschiedener Frequenz „mischt“, entstehen Signale mit der Summen- und die Differenzfrequenz. Wirklich immer? Schauen wir mal hin.

 

Abb. 1 Trägersignal

Das Aussehen einer „reinen“ Wechselspannung auf einem Oszilloskop kennen wir. Wir erhalten eine Sinuskurve, die sich normalerweise symmetrisch um die Rechtsachse windet. Auf einem Spektrumanalyzer sieht man einen „Zacken“ in einer geraden Linie genau dort, wo auf er Rechtsachse die Frequenz der Wechselspannung ist.

Abb. 2 Teil des Spektrums des Trägersignal

Oh, das sieht hier anders aus! Mein DDS-Oszillator liefert zusätzlich andere Nebenprodukte. Das macht jeder Oszillator mehr oder weniger stark. Die Nebenprodukte mehr als 50 dB unter dem Nutzsignal, das ist für viele Fälle ausreichend, es eignet sich fast als Träger. Die logarithmische Teilung der Hochachse durch die dBm-Skala lässt auch kleine Signale groß aussehen. Übersehen wir den „Bodensatz“ im restlichen Teil. In Abb. 2 sehen wir auch die erste Oberwelle.

Abb. 3 Addierschaltung mit Widerständen

Nun addieren wir zwei Wechselspannungen gleicher Spannung. Mit 3 Widerständen ist das in Abb.  schon mit 50 Ohm getan. Links kommen die Eingangssignale rein, rechts ist der Ausgang.  Eine hat eine Frequenz von 3,6 MHz, die zweite 500 kHz. Auf dem Oszilloskop sieht man bei geeigneter x-Ablenkung etwas, das wie ein amplitudenmoduliertes Signal aussieht.

Der Spektrumanalyzer zeigt unabhängig vom „Bodensatz“ genau zwei Peaks. Das verwundert, hätte man doch neben einem starken Signal bei 3,6 MHz noch zwei kleinere Peaks bei 3,1 MHz und 4,1 MHz erwartet. (Die zweite Frequenz zur „Modulation“ ist so hoch gewählt worden, weil die meisten Analyzer nicht für Frequenzen unter etwa 20 kHz geeignet sind.)

   

Abb. 4 Summensignal                                                                                   Abb. 5 Spektrum des Summensignals

Wer genau hinschaut, entdeckt, dass die erste Oberwelle hier fast ganz verschwunden ist. Dieses Rätsel lösen wir später auf.

Suchen wir für dieses Ergebnis eine Erklärung. Dazu benötigen wir Schulmathematik [1] und eventuell einen algebraischen Taschenrechner. Den haben wir vielleicht noch aus der Schulzeit vorhanden, ansonsten können die Kinder oder Enkel vielleicht einmal solch einen TR. ausleihen. Und Mut: Die Formeln sehen auf den ersten Blick viel gefährlicher aus als sie es sind! Dabei werde ich auch manchmal ein wenig vereinfachen, damit wir uns nicht zu sehr in Details der Mathematik verlieren.

Eine erste sinusförmige Wechselspannung U(t) beschreibt man durch:

 )      Man kürzt ab:  dann erhält man: 

Es heißt U(t), da die unabhängige Variable die Zeit t ist und die Abhängige Variable U und nicht y heißt. Dann tauchen da noch 2 * auf. Da die Naturwissenschaften bei Funktionen mit Winkeln immer das Bogenmaß anwenden, soll das auch hier geschehen. Um das Wissen über das Bogenmaß aufzufrischen, ist [2] ganz nützlich. Würde man das hier erklären, entstünde hier die unendliche Geschichte Teil 2.

Statt  ) kann übrigens auch  schreiben. Die beiden Kurven sind nur horizontal gegeneinander verschoben, die Kosinuskurve liegt etwas „vor“ der Sinuskurve. Auf die Frequenz oder Amplitude hat das keinen Einfluss.

Wenn in dem Term für die Frequenz f= 10 Hz ist und man für t 0,1 s einsetzt, ist das Argument (das was in der Klammer steht) der Winkelfunktion 2 *. Bei diesem Winkel hat der Sinus genau einen Berg und ein Tal bewältigt. Genau da hat die Wechselspannung auch! Das sieht schon gut aus. Auch für t=0,2 s erhält man wieder 0. Zwei Schwingungen sind vorbei.

Bliebe noch die Amplitude  zu erklären: Wenn die 1 ist, verschwindet  aus dem Term, „der Sinus“ pendelt dann zwischen -1 und 1. Ist  dagegen 230, so wird jeder Wert  um diesen Faktor vergrößert, die Spannung wird höher und erreicht einen Spitzenwert von ± 230 V. Damit sind die Spitzenspannung und die Frequenz in unserem Term ablesbar.

Bei der zweiten Spannung verwenden wir stets den Index 2, dann lautet die beschreibende Gleichung:

Wenn man nun beide  Spannungen addiert ergibt das:

) 

Nehmen wir an, dass beide Spannungen den gleichen Wert haben, die Amplitude ist gleich und man erhält:  zur Abkürzung nennen wir die Amplitude nun  .

   

Da muss der Sinus von 2 Winkeln addiert werden! Das können wir wahrscheinlich nicht, man kann nicht einfach  die Argumente der Sinusfunktionen (das ist das, was in den Klammern steht) addieren. Nun kann man:

• Googeln [3]
• In einer Formelsammlung nachsehen
• Einen algebraischen Taschenrechner befragen

Man findet hoffentlich: 

Sieht nicht einfacher aus, hilft aber weiter. Setzen wir für α mal  und für β dann  ein:

                wenn 

Im Argument des ersten Sinusterms steht der Mittelwert der Frequenzen beider Ausgangsspannungen. Das ergibt bis dahin wieder eine Gleichung, die eine Wechselspannung beschreibt. Die wird auch mit einem Wechselspannungsterm multipliziert, der aber die halbe Differenzfrequenz beschreibt. Das hier ein Kosinus steht, ist unbedeutend, da Sinus- und Kosinuskurve nur gegeneinander horizontal verschoben sind. An der Form ändert sich nichts.

Man kann auch sagen, dass sich die Amplitude der Wechselspannung mit der Mittelwertfrequenz im Rhythmus der halben Differenzfrequenz ändert. Dennoch sehen wir nur 2 Peaks im Spektrum. Da wir die Gleichung korrekt umgeformt haben, beschreiben die Ausgangsgleichung und die Umgeformte diesen Fall. Da kommt nichts hinzu. Genau das zeigt unser Oszillogramm, denn AM sieht doch etwas anders aus!

Wie kommt man dann im Mischer dann zwei zusätzliche Frequenzen, die im Abstand der Modulationsfrequenz neben dem Träger liegen? Graben wir mal in den grauen Zellen:

In einem Empfangsmischer werden das Eingangssignal RF und das Oszillatorsignal LO einem Bauteil zugeführt, dabei ist die Amplitude von LO deutlich größer als die von RF. Der Mischer hat eine nichtlineare Kennlinie und es entstehen (zusätzlich) die Summe und die Differenz von f_LO und f_RF (und weitere Signale).

Hier ist von einer nichtlinearen Kennlinie die Rede. Durch das starke LO-Signal wird der Mischer „übersteuert“, er ist nicht mehr linear, Dabei entstehen die Mischprodukte. Das ist fast so wie in einer schlechten Endstufe.

Die einfachste Funktion mit „krummem“ Graphen ist eine Parabel mit der Gleichung .  Bilden wir mal das Quadrat der Ausgangsspannung:

, das ist nicht sehr ansprechend!

Erinnern wir uns an König Binomi den Ersten: ,
dabei ist  ) und   ) so wie oben

Man bekommt dann die drei Teilterme des Binoms:

Das sieht nicht freundlich aus, wir können den Dschungel aber durchdringen.

Es sind nämlich weiter Umformungen möglich, das erklärt uns:

Und ebenso 

Das erfahren wir wieder aus der Formelsammlung, vom TR oder von Google [3].
Genau das haben wir in den Termen für  hinter dem zweiten Gleichheitszeichen eingesetzt.

Versuchen wir dieses gruselige Resultat zu verstehen versuchen, sehen wir uns das mal in der Praxis an:

Abb. 6 Addierschaltung mit Mischerdiode

In der Summierschaltung ergänzen wir eine Germaniumdiode von der Masse zum Sternpunkt der Widerstände. In Abb. 6 ist die dort noch nicht angelötet. Eine Germaniumdiode hat eine „krumme“ Kennlinie.

Abb. 7 Spektrum des Addierers mit Diode

Die Marker sind auf den höchsten Peaks. Da entsteht ein ganzer Zoo von zusätzlichen Signalen. Versuchen wir das mit den per Binom umgeformten Gleichungen zu verstehen

Im Term von a² steht  am Ende cos(), bei b²   ist es cos().
Das bedeutet jeweils ein Signal mit der doppelten Ausgangsfrequenz.

Bei 2ab stehen 2 Terme mit einem Kosinus, und zwar mit den Frequenzen  und) . Das sind genau die gesuchten Mischprodukte!

Die Kennlinie eines FETs kann man als näherungsweise parabelförmig (zweiter Ordnung) bezeichnen. Der eignet sich damit als fast idealer Mischer für dieses Modell. Andere Bauelemente haben komplexere Kennlinien, dann wird die rechnerische Betrachtung sehr mühsam. Das untersuchen wir hier nicht. In Folge entstehen dann viele Mischprodukte mit weiteren Frequenzen. Weil bei diesem Verfahren letztlich zwei Wechselspannungen an einem Bauteil mit krummer Kennlinie addiert werden, spricht man dabei von additiver Mischung. Und so sieht eine AM mit einem Modulationsgrad von 100 % auf dem Scope aus. Das ist anders als in Abb. 5.

Abb. 8  AM-Signal, Modulationsgrad 100 %

Nun zu ungelösten Rätsel: Die erste Oberwelle war verschwunden, nachdem ich die BNC-Stecker noch einmal neu eingesteckt hatte. Offenbar war der Kontakt nicht optimal, da war eine Oxidschicht und so was kann wie eine Diode wirken. Die hat dann wohl als Mischer gearbeitet. Der Generator ist doch erheblich „sauberer“ als zunächst angenommen.

Es gibt Situationen, da sind Signale mit den Ausgangsfrequenzen im Mischprodukt unerwünscht. Das ist immer bei der Erzeugung eines SSB-Signals der Fall. Der Träger ist dabei unerwünscht (wie auch das zweite Seitenband). Bemühen wir ein wenig Mathematik, um zu zeigen, wie man das erreichen kann.

Nehmen wir an, es gibt eine Schaltung, die zwei Signale in Sinusform multiplizieren kann.

) und

)          und das Produkt

Wir wissen bereits, wie man mit dem Produkt von 2 Sinustermen umgeht:

,  

Wir setzen ein:  

 und  

Es sind dieselben Terme die uns schon einmal begegnet sind. Sie enthalten je einen Kosinus, und zwar mit den Frequenzen  und. Das sind genau die gewünschten Mischprodukte! Im Gegensatz zum ersten Teil entstehen keine Signale mit weiteren Frequenzen. Das heißt LO und RF sind nicht mehr im Ausgangssignal.

Nach der Schlacht der Mathematik ist nun noch zu klären, wie man schaltungstechnisch die Multiplikation hinbekommt. Dann brauchen wir noch eine Schaltung, die wir auch alle kennen: Den „Diodenkreisverkehr“, korrekt als Doppel-Balance-Modulator bekannt. Über Anwendung und Funktion haben wir meistens nur ein gesundes Halbwissen. Deshalb hier eine kurze Erklärung, obwohl schon sehr viel darüber geschrieben wurde.

Abb. 9 Ringmodulator

Die beiden Übertrager haben je 3 gleiche Wicklungen, die Dioden sind meistens ein Quartett von 4 Schottky-Dioden (mit kleiner Durchlassspannung).
Erinnern wir uns daran, dass im Mischer die Amplitude von LO stets erheblich größer als die von RF sein sollte. Das LO Signal ist so hoch, dass es an den  Dioden auf der Sekundärseite sicher die Durchlassspannung überschreitet. Dabei sind Pegel von 6 -10 dBm an den üblichen 50 Ohm die Größenordnung. Der Pegel auf dem RF-Eingang muss deutlich kleiner sein, sodass die Dioden davon alleine nicht in den Durchlassbereich kommen. Das ist bei einem RX sowieso fast immer der Fall.

Wählen wir einen Zeitpunkt, zu dem die Spannung an Punkt 5 von T2 positiv ist, so ist sie an Punkt 3 negativ gegen Masse. D1 und D2 sind dann leitend, D3 und D4 nicht. Der Verbindungspunkt von D1 mit D2 also auch der Punkt 5 von T1 liegt damit auf Masse. Der Verbindungspunkt von D3 mit D4 „hängt in der Luft“, da diese Dioden gesperrt sind.

Eine halbe Periodendauer von LO ist es umgekehrt. Punkt 5 von T2 ist negativ, Punkt 3 von T2 ist positiv. Dadurch sind D3 und D4 leitend, D1 und D2 aber gesperrt. Dadurch liegt Punkt 3 von T1 auf Masse. Dadurch, dass statt Punkt 5 nun Punkt3 von T1 auf Masse liegt, ist die Polarität von IF invertiert, es ist gegenüber dem alten Wert mit (-1) multipliziert! Der nächste Vorzeichenwechsel von LO multipliziert das Signal IF wieder mit (-1). Diese Multiplikation und damit der Wechsel der Polarität von IF erfolgt in jeder Periode von LO zweimal.

Abb. 10 Spektrum des Ausgangssignals des DBM

So sieht das Ergebnis aus, die Trägerunterdrückung  des DBM es Aufmacherbilds könnte besser sein. Es handelt sich um ein billiges Exemplar aus China.

Die beiden Frequenzen werden so "multiplikativ gemischt“, als IF erscheinen dann nur die Summe und die Differenz von f_LO und f_RF. Der Trägerfrequenz f_RF und die Oszillatorfrequenz f_LO werden unterdrückt. So kann man sowohl ein Doppelseitenbandsignal DSB erzeugen, als auch ein DSB- oder SSB-Signal demodulieren. Die multiplikative Mischung führt zu dem Namen „Produktdetektor“. [4]

Doppel-Balance-Mischer können heute bis in den zweistelligen GHz-Bereich mit FETs auch ohne Übertrager gebaut werden. Die Erklärung erfolgt dennoch oft mit dem alten Diodenring, weil das leichter verständlich ist.

Man wird enttäuscht, wenn man die Rechnung an einem Spektrumanalyzer überprüfen will (Abb. 10). Zwar sieht man hier sehr schön die erwarteten Mischprodukte, aber da ist noch mehr. Vor allem etwa bei den ungeradzahligen Vielfachen der Nutzfrequenzen sieht man Peaks. Hätten wir die Stoppfrequenz in der Messung zu Abb. 10 höher gewählt, wären noch viele weitere Signale zu erkennen. Nun sagt die Theorie, dass Rechtecksignale aus sinusförmigen Signalen der Grundfrequenz und den ungeradzahligen Vielfachen davon zusammengesetzt sind. Wir mischen deshalb nicht nur mit f_LO sondern auch mit f_3LO, f_5LO,…

Bei der Betrachtung sind etliche Formeln verwendet worden. Die muss man weder auswendig kennen noch den Rechenweg aus dem Gedächtnis notieren können. Man sollte aber den Gedankengang nachvollziehen können, dann werden die Mischer viele ihrer Geheimnisse und Mythen verloren haben. Nach Abschluss dieses Artikels fand ich dann in [5] eine  Webseite, die da Thema Mischer sehr gut erklärt. Vielleicht hilft die die Punkte zu erklären, die hier noch im Dunklen blieben.

[1] http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/VS/K9_Trigonometrie/K1_Winkelfunktionen/
WinkelfunktionenKreis.html

[2] https://www.youtube.com/watch?v=G-5AJfNNfMk

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsammlung_Trigonometrie

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Ringmodulator

[5] https://de.wikipedia.org/wiki/Mischer_(Elektronik)

[6] https://uol.de/f/5/inst/physik/ag/physikpraktika/download/UWI/pdf/  
Basispraktikum/Fourieranalyse.pdf

Lesenswert ist auch:

https://www.informationsuebertragung.ch/indexMischer.html

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Manche sagen, Borkum sei der schönste Sandhaufen der Welt. Ob's stimmt, ich weiß es nicht, ich kenne nicht alle. Aber auf jeden Fall ein schöner Sandhaufen. Wir haben die Insel eigentlich zufällig kennen gelernt. Es hat uns gefallen, wir haben dort ein Feriendomizil erworben und fahren immer noch gerne hin. Hier ein Überblick über die Insel und unsere Wohnung.

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